Marvin Rabe

Einführung in Mengenlehre

Es ist schwierig sich unendliche Mengen vorzustellen, deswegen beginne ich mit einem übersichtlichen praxisnahen Beispiel. Die Grundlagen werden darauf dann Schritt für Schritt erarbeitet.

Arbeiten mit Mengen

Klären wir zuerst, was eine Menge ist. Einfach ausgedrückt ist eine Menge eine Zusammenfassung von unterscheidbaren Objekten.

Folgende Tabelle zeigt die Menge aller Kunden eines Unternehmens:

Tabelle mit Beispiel Kundendaten

Wir können uns fragen: “Ist die Test GmbH ein Kunde des Unternehmens?” Mit einem Blick auf die Tabelle können wir sehen: Ja, ist sie. Da die Test GmbH ein Element der Menge ist. Jede Zeile ist also ein Element der Menge.

Ich bezeichne diese Menge als Grundmenge. Es sind alle Kunden, die diese Unternehmen derzeit hat. Mehr Kunden gibt es nicht. Sollten neue Kunden hinzukommen, würden sie als neue Zeile hinzugefügt werden.

Teilmenge

Meistens wollen wir uns aber nicht alle Kunden ansehen, sondern nur einen Teil davon.

Wir können die obere Tabelle nach Kunden filtern, die einen Umsatz von mehr als 100 € gemacht haben. Es bleiben dann nur die folgenden Kunden übrig:

Gefilterte Tabelle

Wir erhalten also wieder eine Menge.

Grafisch kann es wie folgt dargestellt werden.

Teilmenge einer Grundmenge

Das Rechteck wäre unse Grundmenge und der blaue Kreis wäre unsere neue Menge mit den Kunden, die mehr als 100 € Umsatz erbracht haben.

Diese neue Menge ist sogar eine Teilmenge unserer Grundmenge. Alle Elemente in dieser Menge sind auch in unserer Grundmenge enthalten.

Schnittmenge

Für die nächste Marketingaktion wollen wir aber noch eine weitere Einschränkung vornehmen. Wir möchten alle Kunden die einen Umsatz von mehr als 100 € und die sich in Berlin befinden.

Wir können dazu eine zweite Menge definieren. Alle Kunden in Berlin. Wir würden unsere Grundmenge danach filtern und erhalten eine Tabelle mit den Kunden in Berlin. Nun vergleichen wir diese neue Tabelle mit der Tabelle der Kunden, die einen Umsatz von mehr als 100 € haben. Die Kunden, die in beiden Tabellen vorhanden sind, ergeben dann unsere neue Menge mit den Kunden (mehr als 100 € Umsatz und in Berlin). Probier es aus.

Wenn wir beide Mengen als Kreise darstellen, dann stellen wir fest, dass sich die Mengen überschneiden.

Schnittmenge von zwei Mengen

Der blau makierte Bereich stellt die Kunden dar, die sowohl mehr als 100 € Umsatz erbracht haben als auch in Berlin wohnen. Das ist eine Schnittmenge. Die Elemente dieser Menge sind in beiden Mengen und in der Grundmenge enthalten. Somit ist die Schnittmenge eine Teilmenge der beiden Mengen und der Grundmenge.

Vereinigungsmenge

An Weihnachten verschicken viele Firmen kleine Weihnachtsgeschenke an ihre Kunden. Die Geschäftsleitung hat entschieden, dass alle Kunden in Berlin oder die mehr als 100 € Umsatz gemacht haben ein kleines Geschenk bekommen.

Wir gehen genau wie bei der Schnittmenge vor. Erst holen wir uns alle Kunden die 100 € Umsatz gemacht haben und anschließend alle in Berlin. Nun Vergleichen wir die Tabellen aber nicht miteinander, sondern verbinden Sie zu einer einzigen Tabelle.

Hierbei muss aber beachtet werden, dass kein Kunde doppelt aufgelistet wird (es gibt ja schließlich Kunden mit mehr als 100 € Umsatz in Berlin).

Grafisch lässt sich das so darstellen.

Vereinigungsmenge von zwei Mengen

Wie wir sehen, haben wir alle Kunden mit 100 € Umsatz und auch alle Kunden in Berlin. Diese Menge nennt man Vereinigungsmenge.

Die Vereinigungsmenge ist nur eine Teilmenge der Grundmenge. Alle Elemente der Vereinigungsmenge sind in der Grundmenge vorhanden, aber nicht in den jeweiligen Mengen.

Komplementär

Das Komplement von zwei Mengen sieht grafisch so aus:

Komplement zweier Mengen

Wie könnte man das nun ermitteln?

Wir haben wieder unsere zwei Mengen (100 € Umsatz und in Berlin). Das Komplement wären demnach alle Elemente, die nur in der ersten Menge vorhanden sind. In diesem Beispiel also nur die Kunden mit 100 € Umsatz die nicht in Berlin sind. Diese Menge ist eine Teilmenge der ersten Menge und der Grundmenge.

Symmetrische Differenz

Abschließend gibt es noch die Symmetrische Differenz. Diese lässt sich aus den vorherigen drei Operationen ableiten.

Symmetrische Differenz von zwei Mengen

Überlege selbst, wie die Symmetrische Differenz gebildet wird. Schaue dir dazu einfach die oberen Grafiken etwas genauer an. Wovon ist diese Menge eine Teilmenge? Schreib es in die Kommentare.

Erweiterung auf die Unendlichkeit

Die Anzahl der Elemente in einer Menge wird auch als Mächtigkeit bezeichnet. In unserem Beispiel hatte die Grundmenge eine Mächtigkeit von 8. Wie war die Mächtigkeit der einzelnen Mengen in den einzelnen Beispielen?

Im vorherigen Beispiel hatten wir endliche Mengen betrachtet. Wir konnten zu jeder Zeit alle Elemente der Menge auflisten. Selbstverständlich gibt es auch Mengen, bei denen das nicht möglich ist. Beispielsweise die Menge aller natürlichen Zahlen. Diese Mengen haben eine Mächtigkeit von ∞.

Die Operationen von oben können auch auf unendliche Mengen angewendet werden. Es ist schwierig sich eine Menge mit unendlich vielen Elementen vorzustellen. Es ist daher hilfreich, sich die oberen Grafiken vorzustellen. Vielleicht hilft für ein erstes Verständnis sich die Unendlichkeit etwas kleiner zu machen (erst die ersten 10 Elementen, dann die ersten 100 Elemente, und so weiter). Dadurch werden Probleme mit unendlichen Mengen etwas greifbarer.

Mathematische Notation

Mathematisch werden für Mengen häufig Variablen festgelegt.

Der Menge wird die Variable M zugeordnet. In der Menge sind die Zahlen von 1 bis 10. Anstelle von Zahlen können wir auch alle anderen denkbaren Inhalte einfügen.

Die Menge aus dem Beispiel würde so notiert werden (Werte nur für den ersten Eintrag angegeben):

Nur so am Rande: Es handelt sich bei den Elementen dieser Menge übrigens um kartesische Produkte.

Die drei Punkte zeigen an, dass sich noch mehr Elemente in der Menge befinden.

Die gebräuchlichsten Mengen in der Mathematik sind natürliche Zahlen (ℕ = 1, 2, 3, …), ganze Zahlen (ℤ = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …), rationale Zahlen (ℚ = 1/2, 1/3, 1/4, …), reelle Zahlen (ℝ, alle bekannten Zahlen) und komplexe Zahlen (ℂ, alle reellen Zahlen mit imaginärer Einheit i).

Die Operatoren werden so geschrieben:

Schnittmenge Vereinigungsmenge Komplement Symmetrische Differenz

Die Operatoren kann man miteinander verbinden. So lässt sich die symmetrische Differenz auch wie folgt definieren.

Ausblick

Wir haben nun einen ersten Fuß in die Mengenalgebra gesetzt. Dieses Wissen über einfache Operationen mit Mengen taucht in der Mathematik sehr häufig auf. Auch in der Informatik ist dieses Wissen fundamental wichtig. Besonders wenn man mit Datenbanken (SQL) oder funktionalen Programmiersprachen arbeitet, wird man ständig auf Mengen stoßen.

Wenn man viel mit Datenbanken arbeitet, lohnt es sich ein Blick auf Multimengen zu werfen. Mit den hier gezeigten Grundlagen sollte man die Unterschiede zwischen Mengen und Mulitmengen erkennen können. Hast du sie erkannt? Dann schreib es doch in die Kommentare.